المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : مكتبة بحوث العمليات


خا^..^لد
30-10-2007, 10:51 AM
ان شاء الله سندرج هنا كل ما يفيد الدارسين والباحثين في بحوث العمليات من كتب وامثلة
ودروس مشروحة
نرجو من الكل المساهمة في الاثراء

وادعوا لنا بظاهر الغيب

خا^..^لد
30-10-2007, 11:01 AM
نبذة تاريخية

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــ
بحوث عمليات Operations Researches

مقدمة تاريخية


c شهدت بدايات القرن الماضى ( العشرين ) جهدا ضخما لإضفاء الطابع العلمى على عمليات الإدارة وكان لإسهامات كلا من تايلور ، فرانك وليليان جلبرت الفضل فى نمذجة العمل Work Standards ، دراسة الحركة Motion Study ، Job Design وكان لجانيت إسهامات اكبر فى جدولة الأعمال اليومية .
c كما زاد الاهتمام بإضافة طرق علمية لحل مشكلات الإدارة أثناء الحرب العالمية الثانية حيث تم تجميع مجموعة من العلماء فى مختلف المجالات والتخصصات لدراسة مشكلات الجيش فى أمريكا وانجلترا وبالطبع تم استخدام هذه الطرق العلمية الجديدة فى الصناعة والتجارة خاصة فى ظل تنامى العرض والطلب بعد الحرب حيث زادت أعداد المديرين المهتمين بمشكلات الإدارة ويقدرون الطرق الجديدة فى حلها.نتج عن ذلك ان احد طرق الوصول لحل مشكلة ما كانت باستخدام الطرق الرياضية عن طريق مجموعة من النماذج والآن زاد الاهتمام بعلم بحوث العمليات فى جميع أنحاء العالم والدليل على ذلك عدد الجامعات والكليات التى تقوم بتدريس علم بحوث العمليات وان كان بمسميات مختلفة مثل علم الإدارة أو التحليل الكمى أو علم اتخاذ القرار.
c كما تطورت طرق الحل باستخدام بحوث العمليات وأصبحت متعددة وقادرة على إيجاد حلول للمشاكل التى كان يصعب حلها فهناك الطريقة الرسومية والتى تحل مشكلة من متغيرين عن طريق تمثيل العلاقة بينهما على محور السينات والصادات أو ثلاثة متغيرات باستخدام الرسوم ثلاثية الأبعاد والهندسة الفراغية أما إذا زاد عدد المتغيرات عن ذلك فيمكن حلها عن طريق الجداول والعمليات الحسابية ( الطريقة البسيطة ) فإذا كان عندى 5 متغيرات كان عندى جدول مكون من 5 صفوف و5 أعمدة ( مصفوفة ) ولكن إذا زاد العدد ليصل إلى 100 متغير مثلا يمكن استخدام برامج معينة مثل الاكسل سولفر ولينجو وليندو فإذا زاد عدد المتغيرات ليصل إلى 1000 متغير مثلا وجدت طريقة ما فوق الاجتهاد ويستخدم فى الحل طرق غير تقليدية بالمرة تستخدم فيها محاكاة الطبيعة مثل ملكة النمل والطرق الوراثية وشبكة الخلايا العصبية وهى طرق الذكاء الاصطناعى لإيجاد حلول وبدائل حلول والدمج فيما بينهما لإيجاد حل جيد وليس حل امثل كما الحال فى الطرق السابقة.
بداية المحاضرة الاولى : مفهوم بحوث العمليات


الأسلوب العلمى الذى يستخدم لحل المسائل Problems ( المشاكل الكبرى مثل اقتصاد الدولة – استراتيجيات قومية – التخطيط لتمويل مشروع – استثمار مبلغ معين – تخصيص مهام – نقل مهام – دمج وخلط ) ومساعدة متخذ القرار Decision Maker فى الحصول على الحل ( القرار ) الأمثل Best ( Optimal ) Solution من مجموعة متغيرات ( قرارات ) ( Decision Variables ) بالرغم من المعوقات ( القيود ) Constraints عن طريق تدنية التكاليف Cost Minimization أو تعظيم الأرباح Profits maximization باستخدام مجموعة من المعادلات الرياضية Objectives Functions بعد الحصول على معاملات Parameters الاستخدامات usages والموارد Resourcesباستخدام النموذج المناسب Model من نماذج بحوث العمليات بإتباع أربع خطوات محددة وهى : 1- تحديد مجموعات الحلول الممكنة ، 2 – تحديد مجموعات القيود ، 3 – تحديد المعادلات الرياضية المستخدمة ، 4 – تحديد معاملات القيود والحلول من محلل نظم بحوث العمليات Operations Researches System Analyst (ORSA ) .، ويعبر عن ذلك بما يلى :

خا^..^لد
30-10-2007, 11:02 AM
بحوث عمليات Operations Researches
مقدمة تاريخية
 شهدت بدايات القرن الماضى ( العشرين ) جهدا ضخما لإضفاء الطابع العلمى على عمليات الإدارة وكان لإسهامات كلا من تايلور ، فرانك وليليان جلبرت الفضل فى نمذجة العمل Work Standards ، دراسة الحركة Motion Study ، Job Design وكان لجانيت إسهامات اكبر فى جدولة الأعمال اليومية .
 كما زاد الاهتمام بإضافة طرق علمية لحل مشكلات الإدارة أثناء الحرب العالمية الثانية حيث تم تجميع مجموعة من العلماء فى مختلف المجالات والتخصصات لدراسة مشكلات الجيش فى أمريكا وانجلترا وبالطبع تم استخدام هذه الطرق العلمية الجديدة فى الصناعة والتجارة خاصة فى ظل تنامى العرض والطلب بعد الحرب حيث زادت أعداد المديرين المهتمين بمشكلات الإدارة ويقدرون الطرق الجديدة فى حلها.نتج عن ذلك ان احد طرق الوصول لحل مشكلة ما كانت باستخدام الطرق الرياضية عن طريق مجموعة من النماذج والآن زاد الاهتمام بعلم بحوث العمليات فى جميع أنحاء العالم والدليل على ذلك عدد الجامعات والكليات التى تقوم بتدريس علم بحوث العمليات وان كان بمسميات مختلفة مثل علم الإدارة أو التحليل الكمى أو علم اتخاذ القرار.
 كما تطورت طرق الحل باستخدام بحوث العمليات وأصبحت متعددة وقادرة على إيجاد حلول للمشاكل التى كان يصعب حلها فهناك الطريقة الرسومية والتى تحل مشكلة من متغيرين عن طريق تمثيل العلاقة بينهما على محور السينات والصادات أو ثلاثة متغيرات باستخدام الرسوم ثلاثية الأبعاد والهندسة الفراغية أما إذا زاد عدد المتغيرات عن ذلك فيمكن حلها عن طريق الجداول والعمليات الحسابية ( الطريقة البسيطة ) فإذا كان عندى 5 متغيرات كان عندى جدول مكون من 5 صفوف و5 أعمدة ( مصفوفة ) ولكن إذا زاد العدد ليصل إلى 100 متغير مثلا يمكن استخدام برامج معينة مثل الاكسل سولفر ولينجو وليندو فإذا زاد عدد المتغيرات ليصل إلى 1000 متغير مثلا وجدت طريقة ما فوق الاجتهاد ويستخدم فى الحل طرق غير تقليدية بالمرة تستخدم فيها محاكاة الطبيعة مثل ملكة النمل والطرق الوراثية وشبكة الخلايا العصبية وهى طرق الذكاء الاصطناعى لإيجاد حلول وبدائل حلول والدمج فيما بينهما لإيجاد حل جيد وليس حل امثل كما الحال فى الطرق السابقة.
بداية المحاضرة الاولى : مفهوم بحوث العمليات
الأسلوب العلمى الذى يستخدم لحل المسائل Problems ( المشاكل الكبرى مثل اقتصاد الدولة – استراتيجيات قومية – التخطيط لتمويل مشروع – استثمار مبلغ معين – تخصيص مهام – نقل مهام – دمج وخلط ) ومساعدة متخذ القرار Decision Maker فى الحصول على الحل ( القرار ) الأمثل Best ( Optimal ) Solution من مجموعة متغيرات ( قرارات ) ( Decision Variables ) بالرغم من المعوقات ( القيود ) Constraints عن طريق تدنية التكاليف Cost Minimization أو تعظيم الأرباح Profits maximization باستخدام مجموعة من المعادلات الرياضية Objectives Functions بعد الحصول على معاملات Parameters الاستخدامات usages والموارد Resourcesباستخدام النموذج المناسب Model من نماذج بحوث العمليات بإتباع أربع خطوات محددة وهى : 1- تحديد مجموعات الحلول الممكنة ، 2 – تحديد مجموعات القيود ، 3 – تحديد المعادلات الرياضية المستخدمة ، 4 – تحديد معاملات القيود والحلول من محلل نظم بحوث العمليات Operations Researches System Analyst (ORSA ) .، ويعبر عن ذلك بما يلى :













قبل الدخول إلى حل مسائل بحوث العمليات يجب ملاحظة :
1- أثبتت النظريات للمسائل التى تحل متغيرين إذا كان الشكل مضلعا هندسيا فان الحل الامثل يقع على حواف هذا الشكل أما إذا كان الشكل غير هندسى فتكون كل نقطة داخل هذا الشكل قد تكون حل امثل وقد تصل هذه النقاط إلى عدد لانهائى من النقاط ويوضح ذلك الرسم التالى :











2- حل مسائل بحوث العمليات هى فقط وأبدا أربع خطوات:
1- تحديد مجموعات الحلول الممكنة Decision Variables
2- تحديد مجموعات القيود Constraints
3- تحديد المعادلات الرياضية المستخدمة Objectives Functions
4- تحديد معاملات القيود والحلول Parameters
حل مثال 1 بالكتاب ص 24
شركة صناعية ترغب فى تحديد الكميات التى يجب ان تنتجها من 3 منتجات مختلفة وعندها موارد محدودة ( بالجدول التالى ) لتعظيم ربحها

الموارد منتج 1 منتج 2 منتج 3 المتاح
عمال 5 2 4 240
مواد خام 4 6 3 400
الربح 3 5 2

1- Decision Variables
X1;x2;x3 Where
x1 quantity of product 1 ; x2 quantity of product 2; x2 quantity of product 3
2- Constraints
5ax1+2ax2+4ax3 ≥ 240 where a = labor
4bx1+6bx2+3bx3 ≥ 400 where b = materials
3- Objectives Functions
Max z=3x1+5x2+2x3
Subject to:
5ax1+2ax2+4ax3 ≥ 240
4bx1+6bx2+3bx3 ≥ 400
x1;x2;x3 ≤ 0 Non negativity condition
4- Parameters
3;5;2 profit of x1;x2;x3
5;2;4 labor of x1;x2;x3
4;6;3 materials of x1;x2;x3
240;400 resources of labor ; materials


الطريقة العلمية لحل المشكلات
تتكون من مجموعة ثابتة من الخطوات المرتبة ترتيبا دقيقا حسب دراسة طبيعة كل مشكلة
1- دراسة المنشأة محل الدراسة بدقة لتحديد تعريف دقيق لكل مشكلة
2- عمل نمذجة للمشكلة عن طريق تعريف دقيق للمشكلة مع تحديد للحلول وبدائل الحلول مع تحديد دالة الهدف
3- تحديد طريقة الحل رسومى أو بسيط أو عن طريق البرامج
4- اختبار النموذج للتاكد من انه يعمل بصورة دقيقة
5- حل المشكلة
6- التطبيق
ومع ذلك ستقتصر دراستنا فى هذا الجزء على خطوتين عمل نمذجة وحل المشكلة
تصنيف النماذج
1- النموذج القابل للقياس ( ستقتصر دراستنا على هذا الجزء )
2- النموذج الاحتمالى
عناصر بناء النماذج
1- الأرباح – التكاليف – الكميات
a. الأرباح
وهى تساوى الكميات المباعة فى سعر كل نوع
b. التكاليف
i. التكاليف الثابتة
وهى تكاليف ليس لها علاقة مباشرة بالكميات المباعة أو المنتجة ولا تتأثر بها مثل مرتبات العاملين – الضرائب والتأمينات
ii. التكاليف المتغيرة
وهى تكاليف متعلقة بالكمية المنتجة أو المباعة وتتأثر مباشرة بها مثل الخامات المستخدمة – عدد ساعات العمل – عمولات البيع – التعبئة – الشحن
c. مستوى التشغيل
والأرباح والتكاليف مرتبطة ارتباطا وثيقا بمستوى التشغيل حيث يحدد مستوى التشغيل وحدة الإنتاج ونسبة الاستيعاب ( التشغيل ) اى طاقة الإنتاج القصوى – المبالغ المتاحة
2- متغيرات النموذج
a. ( متغيرات الحلول ) بدائل الحلول
أول واهم المتغيرات التى يجب تحديدها بدقة هى متغيرات الحلول ( بدائل الحلول أو الحلول المتاحة ) وهى تعنى ببساطة ما الذى سيتخذ المدير قرارا بشأنه وهنا غالبا ماستكون حجم إنتاج ( كميات ) Q
b. متغيرات القيود
وهو المتغير الذى يمكن قياسه لتقييم بدائل الحلول وهنا يكون قيد واحد وهو معظمة الأرباح أو تدنية التكاليف Z
c. متغيرات خارجية
وهى متغيرات ليس للمنشأة اى دخل فيها مثل سعر المنتج مثلا فى سوق تنافسى
3- معاملات النموذج
هى قيم رقمية تحدد العلاقة بين المتغيرات المختلفة فى النموذج والتى تتغير فقط من حالة ( منتج أو غير ذلك ) إلى أخرى وفائدتها وضع نموذج عام لحل المشكلة وهى تشتمل على التكاليف الثابتة FC والتكاليف المتغيرة VC والسعر P والربح الكلى TR والتكاليف الكلية TC
4- إنشاء النموذج والعلاقات
تتكون عملية إنشاء النموذج عن طريق تحديد العلاقات بين مكونات النظام ( المعاملات والمتغيرات ) مع ملاحظة ان :
1- معظمة الربح أو تدنية التكاليف دالة فى الكمية اى z=f(Q) ( معظمة الربح اشمل من تدنية التكاليف حيث يشتمل معظمة الربح على تدنية التكاليف ) حيث Z=TR-TC
2- TR=Q.P ;TC=FC+VC.Q
3- Z=Q.P-FC-VC.Q
5- حل النموذج
a. الحل الرياضى ( هذا الحل للنموذج العام فقط ولايشترط ان تحل جميع النماذج بنفس الطريقة ولكن اذا أمكن حلها بهذه الشكل كان افضل )
من المعادلات السابقة يمكن استنتاج :
i. عند الربح = صفر نحصل على المعادلة P.Q-FC-VC.Q=0
ii. عند نقل التكاليف الثابتة لليمين ينتج P.Q -VC.Q=FC
iii. بأخذ الكمية عامل مشترك Q(P-VC)=FC
iv. من المعادلة السابقة يمكن استنتاج الكمية التى يكون عندها الارباح تساوى التكاليف Q=FC/ (P-VC) وهذه الكمية تسمى ……
b. الحل البيانى
c. الحل عن طريق الحاسب الالى
بداية المحاضرة الثانية
للتأكيد على أهمية بحوث العمليات يمكن ان نتعرف على مجالات بحوث العمليات من خلال الأمثلة التالية :
1- درسنا فى المحاضرة السابقة مثال على خلط المنتجات ونحن الان ندرس مثالا على النقل ( مهام – معدات – أفراد – غير ذلك )
- شركة أسفلت لها ثلاث مصانع فى مناطق جغرافية مختلفة وبعد ذلك تنقلها فى عربات إلى ثلاث طرق للرصف وتكمن المشكلة فى تقليل تكلفة نقل الأسفلت من المصانع إلى أماكن الرصف والجدول التالى يوضح الكميات التى يحتاجها كل طريق للرصف وتكلفة النقل من كل مصنع لكل طريق والكميات المنتجة من كل مصنع

المصنع/ الطريق الطريق1 الطريق2 الطريق 3 الكمية المنتجة
1 40 25 30 120
2 75 50 60 80
3 15 45 50 80
الكمية المطلوبة 150 70 60

لعمل نموذج لحل هذه المشكلة يجب ان نحدد الاربع خطوات بدقة
المطلوب هو تحديد الكميات التى يجب نقلها ( X ) من كل مصنع ( 1-2-3 ) إلى كل طريق ( 1 – 2 – 3 )
1- Decision Variables
X11;x12;x13; X21;x22;x23; X31;x32;x33 Where
x11 quantity of asphalt from plant1 to road 1 ; x12 quantity of asphalt from plant1 to road 2 ; x13 quantity of asphalt from plant1 to road 3 ; x21 quantity of asphalt from plant2 to road 1 ; x22 quantity of asphalt from plant2 to road 2 ; x23 quantity of asphalt from plant2 to road 3; x31 quantity of asphalt from plant3 to road 1 ; x32 quantity of asphalt from plant3 to road 2 ; x33 quantity of asphalt from plant3 to road 3
2- Constraints
Supply constraints
x11+x21+x31=150 (الطريق الأول يحتاج إلى 150 عربة نقل للرصف من كل المصانع )
x12+x22+x32=70 (الطريق الثانى يحتاج إلى 70 عربة نقل للرصف من كل المصانع )
x13+x23+x33=60 (الطريق الثالث يحتاج إلى 60 عربة نقل للرصف من كل المصانع )
Demand constraints
x11+x12+x13=120 ( المصنع الأول ينتج 120 عربة نقل توزع على كل الطرق )
x21+x22+x23=80 ( المصنع الثانى ينتج 80 عربة نقل توزع على كل الطرق )
x31+x32+x33=80( المصنع الثالث ينتج 80 عربة نقل توزع على كل الطرق )
3- Objectives Functions
Min z=40 x11+75x12+15x13+25 x21+50x22+45x23+ 30x31+60x32+50x33
Subject to:
x11+x21+x31=150
x12+x22+x32=70
x13+x23+x33=60
x11+x12+x13 ≥120
x21+x22+x23 ≥80
x31+x32+x33 ≥80
x11+x12+x13 +x21+x22+x23+x31+x32+x33 =280
0≥ xij where I =1;2;3 & j= 1;2;3
4- Parameters
40;75;15 transportation cost of x11;x12;x13
25;50;45 transportation cost of x21;x22;x23
30;60;50 transportation cost of x31;x32;x33
150;70;60 needs to road1 ;2;3
120;80;80 product in plant1;2;3


2- استخدام بحوث العمليات فى جدولة الاعمال والانتاج
3- استخدام بحوث العمليات فى السيطرة على المخازن
4- استخدام بحوث العمليات فى دراسات الجدوى
5- مشاكل التغذية مثال ص 24 ( المحاضرة السابقة )
6- خلط الخامات ( مثال ص 52 ) خلى بالك دى فى الكتاب فى 4 صفحات شوف بقى عشان تختصر الاربع صفحات دول احسن حاجة اى مسالة بحوث عمليات تعملها فى جدول زى المسالة اللى فاتت
المثال: مصنع تكرير يخلط اربع خامات للحصول على 3 منتجات من الجازولين عادى وممتاز ومنخفض الرصاص ماهو الكميات المثلى لخلط الخامات والتى تحقق معظمة الربح اذا كانت الكميات المتاحة من الخام 1،2،3،4 هى على التوالى 5000،2400،4000،1500 برميل يوميا وتكلفة البرميل الواحد على التوالى هى 9،7،12،6 وكان النوع العادى يحتاج إلى 40% من الخام الأول على الاقل ، 20% من الخام الثانى على الاكثر ، 30% من الخام الثالث على الاقل كما ان النوع الممتاز يحتاج إلى 40% من الخام الثالث على الاقل بينما يحتاج النوع الخالى من الرصاص الى 50% من الخام الثانى على الاكثر ، 10% من الخام الأول على الاقل
الحل
هذه هى البيانات المتاحة ( الربح والتكلفة )

المنتج/ المادة الخام 1 2 3 4 السعر
العادى 12
الممتاز 18
الخالى من الرصاص 10
الكمية المتاحة 5000 2400 4000 1500
التكلفة 9 7 12 6

لعمل نموذج لحل هذه المشكلة يجب ان نحدد الاربع خطوات بدقة
المطلوب هو تحديد الكميات التى يجب خلطها ( X ) من كل مادة خام ( 1-2-3-4 ) للحصول على المنتج (R;P;L )


1- Decision Variables
X1R; x1P; x1L; X2R; x2P; x2L; X3R; x3P; x3L; X4R; x4P; x4L Where
X1R quantity of material1 in regular gas; X1P quantity of material1 in premium gas; X1L quantity of material1 in low lead gas
X2R quantity of material2 in regular gas; X2P quantity of material2 in premium gas; X2L quantity of material2 in low lead gas
X3R quantity of material3 in regular gas; X3P quantity of material3 in premium gas; X3L quantity of material3 in low lead gas
X4R quantity of material4 in regular gas; X4P quantity of material4 in premium gas; X4L quantity of material4 in low lead gas

بعد وضع هذه المتغيرات يمكن ان نكمل الجدول السابق كما يلى :

المنتج/ المادة الخام 1 2 3 4 السعر
العادى X1R X2R X3R X4R 12
الممتاز X1P X2P X3P X4P 18
الخالى من الرصاص X1L X2L X3L X4L 10
الكمية المتاحة 5000 2400 4000 1500
التكلفة 9 7 12 6
2- Constraints
X1R+ x1P+ x1L≥5000
X2R+ x2P+ x2L≥2400
X3R+ x3P+ x3L≥4000
X4R+ x4P+ x4L≥1500






0≥ xij where I =1;2;3 & j= P;R;L
3- Objectives Functions
الكلى بطرح التكاليف الكلية من اجمالى الدخل
MAX Z=[الدخل =السعر فى الكمية]12(X1R+X2R+X3R+X4R)+ 18(X1P+X2P+X3P+X4P)+ 10 (X1L+X2L+X3L+X4L) – [التكاليف = السعر فى الكمية] 9(X1R+X1P+X1L) -7(X2R+X2P+X2L) -12 (X3R+X3P+X3L) -6(X4R+X4P+X4L)
Subject to:
X1R+ x1P+ x1L≥5000
X2R+ x2P+ x2L≥2400
X3R+ x3P+ x3L≥4000
X4R+ x4P+ x4L≥1500






0≥ xij where I =1;2;3 & j= P;R;L
4- Parameters
5000;2400;4000;1500 quantities of material 1;2;3;4
9;7;12;6 COST of material 1;2;3;4

12;18;10 PRICE OF R;P;L

Product/line Line1 Line2 Profit
A 12 4 9
B 4 8 7
total 60 40


1- Decision Variables
Xa;xb Where
xa quantity of product a ; xb quantity of product b
2- Constraints
12xa+4xb ≥ 60
4xa+8xb≥ 40
3- Objectives Functions
Max z=9xa+7xb
Subject to:
12xa+4xb ≥ 60
4xa+8xb≥ 40
xa;xb ≤ 0 Non negativity condition
4- Parameters
9;7 profit of xa;xb
12;4; hr used in line1 for products a;b
4;8; hr used in line2 for products a;b
60 ;40 total hr used inline1 and line2
1- ص 58
Product vitamin Mineral cost Minimum
A 1 4 8 5
B 2 2 10 5
total 40 60


1- Decision Variables
Xa;xb Where
xa quantity of product a ; xb quantity of product b
2- Constraints
1xa+2xb ≥ 40
4xa+2xb≥ 60
3- Objectives Functions
Min z=8xa+10xb
Subject to:
1xa+2xb ≥ 40
4xa+2xb≥ 60
xa;xb ≤ 5 minimum product condition
4- Parameters
8;10 cost of xa;xb
1;2; hr cost of vitamin for products a;b
4;2; hr cost of mineral for products a;b
40 ;60 total cost for vitamin and mineral
4- ص 58
Product Cost/unit Labor hr/unit Price Maximum Store
Clock 7 2 15 200
Radio 10 3 20 300
Toaster 5 1 12 150
2000 600 500


1- Decision Variables
Xc;xr;xt Where
xc clock quantity; xr radio quantity ; xt toaster quantity
2- Constraints
7xc+10xr+5xt ≥ 2000
2xc+3xr+1xt ≥ 600
xc ≥200
xr ≥300
xt ≥150
xc+xr+xt≥500
3- Objectives Functions
Max z=15xc+20xr+12xt – (7xc+10xr+5xt )
Subject to:
7xc+10xr+5xt ≥ 2000
2xc+3xr+1xt ≥ 600
xc ≥200
xr ≥300
xt ≥150
xc+xr+xt≥500
4- Parameters
15;20;12 price of xc;xr;xt
7;10;5 cost of xc;xr;xt
2;3;1;600 hours used by xc;xr;xt;xc+xr+xt
200;300;150;500 maximum product of xc;xr;xt;xc+xr+xt
2000 maximum cost of xc+xr+xt










 الحل البيانى : بعد عمل نمذجة للمشاكل توجد طرق كثيرة للحل ابسط هذه الطرق والتى تستخدم فى حلول المشاكل ذات المتغيرين وعلى أكثر تقدير 3 متغيرات ( ندرس فى هذا المقرر حلول المشاكل ذات المتغرين بيانيا ) ويكون الحل باتباع خطوات محددة هى :
1- تحويل متباينات القيود إلى معادلات
2- رسم معادلة القيد الأول بتحديد نقطتين ونرسم الخط الواصل بينهما ويمكن مد هذا الخط ويتم تحديد هاتين النقطتين عن طريق :التعويض عن المتغير الأول بصفر فى القيد الأول لتحديد القيمة المناظرة للمتغير الثانى وبذلك يتم تحديد أول نقطة ( 0 ، ص ) ثم التعويض فى نفس المعادلة عن المتغير الثانى بصفر وتحديد قيمة المتغير الأول وبذلك يكون تم تحديد النقطة الثانية ( س ، 0 ) ثم نرسمهما على احداثيات المتغيرات س ، ص X ; y مع ملاحظة ان نقط المتغيرات التى تحدد الحل يجب ان تكون فى الربع الايمن العلوى ( شرط ان تكون قيم المتغيرات اكبر من أو تساوى الصفر)
3- نرجع المعادلات إلى متباينات على الرسم بتحديد الناحية ( الجانب ) الذى يكون فيه خط المعادلة محققا لشرط اكبر من أو اصغر من ونتاكد من هذا التحديد بالتعويض عن النقطة ( 0 ، 0 ) أو اقرب نقطة لها إذا كانت هذه القيمة على الخط أى احد نقاطه فاذا كانت تحقق الشرط نحدد على خط المعادلة ناحية هذه النقطة وإذا كانت لاتحدد الشرط نحدد على خط المعادلة فى الناحية المخالفة لها
4- نكرر الخطوتين 2 ، 3 مع كافة القيود
5- نضع قيمة مناسبة للربح أو التكلفة ونجعلها تساوى دالة معظمة الارباح أو تدنية التكاليف لنكون معادلة معظمة الارباح أو تدنية التكاليف ثم نحدد نقطتين ( بنفس الطريقة أى بالتعويض عن قيمة المتغير الأول بصفر للنقطة الأولى وعن قيمة المتغير الثانى بصفر للنقطة الثانية ) لنرسم معادلة معظمة الارباح أو تدنية التكاليف بيانيا
6- عن طريق المسطرة والمثلث نحرك خط معادلة معظمة الارباح أو تدنية التكاليف حتى تتماس مع نقطة من النقاط المحددة للقيود
 ملاحظات على الحل البيانى
 قد يوجد مشاكل ليس لها حلول
 قد يوجد مشاكل لها أكثر من نقطة للحل
 قد يوجد قيود عديمة الجدوى ( زائدة عن الحاجة ) Redundant
 قد يوجد مشاكل غير محدودة الحل
















 حل مسائل النقل
 إذا كان الطلب مساو للعرض فان عملية النقل تسمى عملية متوازنة وإذا زاد الطلب عن العرض ( ساحتاج لصف جديد ويسمى عجزا ) أو إذا زاد العرض عن الطلب عن العرض ( ساحتاج لعمود جديد ويسمى مخزون ) تسمى عملية غير متوازنة
 يتم ايجاد الحل الامثل على خطوتين الأولى ايجاد الحل الابتدائى والثانية ايجاد الحل الامثل ( غير مقررة )
 الحل الابتدائى يتم بثلاث طرق :
 طريقة الركن الشمالى الغربى ( ويتم فيها البدء بتحقيق مطالب الركن الشمالى الغربى اولا ثم شطب الصف أو العمود الذى انتهت امدادته أو طلباته ثم بحث عن الركن الشمالى الغربى الجديد بعد الشطب وتستمر العملية حتى نهاية كل المطالب والامدادات )
 طريقة اقل التكاليف ( ويتم فيها البدء بتحقيق مطالب المتغير ذو اقل التكاليف ثم شطب الصف أو العمود الذى انتهت امداداته أو طلباته ثم البحث عن المتغير ذو اقل التكاليف فى المتغيرات المتبقية بعد الشطب وتستمر العملية حتى نهاية كل المطالب والامدادات ) وهذه الطريقة اقل فى التكاليف من الطريقة السابقة
 طريقة فوجل ( ويتم فيها تحديد الفرق بين اقل تكلفتين فى كل صف وعمود ثم ابدأ بتحديد الصف أو العمود صاحب اكبر فرق وابدأ بتحقيق مطالب اقل تكلفة فيه ثم شطب الصف أو العمود الذى انتهت طلباته أو امداداته ثم تكرا ماسبق حتى نهاية كل المطالب والامدادات ) وهذه الطريقة هى اقل الطرق تكلفة
 ملاحظات على ايجاد الحل الابتدائى فى مسائل النقل
 قد تأتى المسألة فى صورة معادلات بدلا من جدول
 قد تكون المسألة غير متوازنة فنضيف صف أو عمود
 عند وجود عجز أو فائض واعطى قيمة تكلفة له نكمل المعادلة بقيمة التكلفة فى كمية الفائض أو العجز بالإضافة إلى المعادلة الاساسية
 قد يكون غير مسموح بالتخزين فنضع m بدلا من تكلفة التخزين = صفر أو أى قيمة معطاة
 قد يكون غير مسموح بالعجز فنضع m بدلا من تكلفة استعاضة العجز = صفر أو أى قيمة معطاة
 مسائل النقل مسائل تكلفة وقد تأتى فى صورة أرباح ويكون حلها عن طريق وضع رقم اخر بجوار الرقم المعطى وهو رقم التكلفة ( يتم ايجاد هذا الرقم لكل متغير عن طريق طرح رقم ربحية كل متغير من اكبر قيمة ربحية للمتغيرات ) ويتم الحل بطريقة فوجل أو اقل التكاليف
مثال صفحة 187

From / to 1 2 3 Supply
1
8
5
6
120
2
15
10
12
80
3
3
9
10
80
Demand 150 70 60 280

الحل
طريقة الركن الشمالى الغربى : الخطوة الأولى

From / to 1 2 3 Supply
1
8
120 5
6
120/0
2
15
10
12
80
3
3
9
10
80
Demand 150 70 60 280




الخطوة الثانية
From / to 1 2 3 Supply
2
15
30 10
12
80/50
3
3
9
10
80
Demand 30/0 70 60
الخطوة الثالثة
From / to 2 3 Supply
2
10
50 12
50/0
3
9
10
80
Demand 70/20 60
الخطوة الرابعة
From / to 2 3 Supply
3
9
20 10
80/60
Demand 20/0 60
الخطوة الأخيرة : التعويض فى معادلة تدنية التكاليف بقيم كل متغير فى تكلفته
تكاليف النقل = 120 * 8 + 30*15 + 50*10 + 20*9 +60*10 = 2690

طريقة اقل التكاليف : الخطوة الأولى
From / to 1 2 3 Supply
1
8
5
6
120
2
15
10
12
80
3
3
80 9
10
80/0
Demand 150/70 70 60 280
الخطوة الثانية
From / to 1 2 3 Supply
1
8
5
70 6
120/50
2
15
10
12
80
Demand 70 70/0 60
الخطوة الثالثة
From / to 1 3 Supply
1
8
6
50 50/0
2
15
12
80
Demand 70 60/10


الخطوة الرابعة
From / to 1 2 3 Supply
2
15
12
10 80/70
Demand 70 10/0

الخطوة الأخيرة
التكاليف = 3*80 + 5*70 + 50*6 + 10*12 +15*70 = 2060 ( لاحظ أنها اقل تكلفة من الطريقة الأولى )

طريقة فوجل : الخطوة الأولى
From / to 1 2 3 Supply
1
8
5
6
120 1
2
15
10
12
80 2
3
3
80 9
10
80/0 6
Demand 150/70 70 60 280
5 4 2
الخطوة الثانية
From / to 1 2 3 Supply
1
8
70 5
6
120/50 1
2
15
10
12
80 2
Demand 70/0 70 60
7 5 6
الخطوة الثالثة
From / to 2 3 Supply
1
5
6
50 50/0 1
2
10
12
80 2
Demand 70 60/10
5 6
الخطوة الرابعة
From / to 2 3 Supply
2
10
12
10 80/70 2
Demand 70 10/0
10 12

الخطوة الأخيرة
التكاليف = 80*3 + 70*8 + 50*6 + 10*12 + 70*10 = 1290 ( لاحظ ان التكاليف اقل من الطرق السابقة )

خا^..^لد
30-10-2007, 11:03 AM
البرمجة الخطية :
إن أسلوب البرمجة الخطية هو أحد الأساليب الهامة في اتخاذ القرارات ، وتعتبر مسائل البرمجة الخطية إحدى مسائل التفضيل Optimization Problems ، وتعتبر أيضاً من مسائل بحوث العمليات Operations Research .
مسائل التفضيل هي مسائل تبحث عن تعظيم أو تقليل تابع مكون من متغيرات رقمية مع التقيد بمتراجحات تمثل شروط خاصة للمسألة .
في بداية الثلاثينات تم تشكيل نوع جديد من مسائل التفضيل عرفت بمسائل البرمجة ، فعند وجود عدد من الموارد Resources (قوة عمل ، مواد أولية ، ....الخ) تشترك معاً في إنتاج سلعة أو تقديم خدمة فإنه يمكن تشكيل مسألة برمجة لحساب وإيجاد أفضل تخصيص Optimal Allocation لهذه الموارد وذلك لتحقيق هدف معين .
ملاحظة : الهدف من مسائل البرمجة الخطية هو إيجاد أفضل حل ممكن (أفضل قيمة لتابع الهدف) وذلك ضمن الشروط المفروضة.

مكونات مسألة البرمجة الخطية :
1. تابع هدف Objective Function نسعى لإيجاد أفضل وضع له (سواءً كان الهدف تعظيم أم تقليل) .
2. متغيرات قرار يجب تحديدها للوصول إلى الهدف المرغوب .
3. متراجحات تشير إلى الموارد وتحدد كميتها فتسمى بالمقيدات Constraints .

مراحل تشكيل مسألة البرمجة الخطية :
1. تشكيل تابع الهدف.
2. وضع المتراجحات و المعادلات التي تمثل مقيدات (شروط) المسألة .
3. وضع متراجحات عدم السلبية : وتعني أن متغيرات القرار لا يمكن إلا أن تكون قيماً موجبة ، حيث يتماشى ذلك مع الواقع (لا يمكن أن تكون مثلاً عدد الوحدات المنتجة سالبة) .

ملاحظة :
عندما تكون العلاقة بين المتغيرات في دالة الهدف و المتراجحات الشرطية خطية ، تسمى عندئذ المسألة مسألة برمجة خطية Linear Programming .
أما إذا كانت العلاقة بين المتغيرات في دالة الهدف أو أحد المتراجحات الشرطية (شروط المسألة) غير خطية ، تسمى عندئذ المسألة مسألة برمجة لا خطية Non Linear Programming .


مثال مبسط :
تنتج شركة المجد نوعين من المواد الغذائية X1,X2 ، حيث يحقق النوع الأول ربحاً قدره (70) وحدة نقدية ، أما النوع الثاني فيحقق ربحاً مقداره (50) وحدة نقدية .
إن إنتاج وحدة من النوع الأول يتطلب وحدتين من المادة الأولية الأولى وأربع وحدات من المادة الأولية الثانية .
أما إنتاج وحدة من النوع الثاني فيتطلب أربع وحدات من المادة الأولية الأولى وأربع وحدات من المادة الأولية الثانية .
أما الكمية المتاحة من المادة الأولية الأولى فهي (40) وحدة ، ومن المادة الأولية الثانية (70) وحدة . و المطلوب بناء نموذج رياضي لهذه المسألة .

الحل :
بفرض أن X1 هي عدد الوحدات المنتجة من النوع الأول .
بفرض أن X2 هي عدد الوحدات المنتجة من النوع الثاني .
فيكون النموذج الرياضي على الشكل التالي :



نلاحظ أن تابع الهدف يسعى لتعظيم الأرباح

هذا شرح سريع جداً ، وعذراً إن لم أستطع إيصال المعلومة بالشكل المطلوب ، وذلك لأنني افترضت أن مستخدم الوظيفة الإضافية Solver سيكون على دراية كاملة بعلم البرمجة الخطية و اللاخطية.

أبو يوسف
30-10-2007, 01:31 PM
الله يعطيك العافيه

جهد أكثر من رائع




و إن شاء الله الكل يستفيد منها و أنا منهم



تحيتي لك

أبو ساري
30-10-2007, 01:33 PM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة

يعطيك العافيه اخوي خا^..^لد

وننتظر جديدك


تقبلوا تحياتي لكمـ

/..بحــ الشوق ـــر../
30-10-2007, 05:12 PM
مجهود رائع

بارك الله فيكـ

تقبل مني اجمل التحيات

أجود
18-11-2007, 02:15 AM
يعطيك العافية